[유니티로 배우는 게임 수학] 3장-벡터 복습 및 정리

- 3.1.1

순서가 있는 수치로 조합된 벡터를 수벡터라고 한다.

배열로 벡터를 표현한 경우 하나하나의 요소를 벡터의 성분이라고 한다.

성분을 가로로 나열하면 행벡터, 세로로 나열하면 열벡터이다.

 

- 3.1.2

성분의 배열로 본 벡터 표현과 달리, 화살표를 통해 벡터를 시각적으로 표현할 수 있다.

크기, 방향을 가진 양으로서 벡터를 정의하면 기하벡터가 된다.

벡터의 화살표가 시작되는 점을 시점, 화살표 끝 점을 종점이라고 한다.

 

- 3.1.3

크기와 방향이 있는 양을 벡터라고 한다면, 크기만 있는 일반적인 수치는 스칼라라고 한다.

 

- 3.2.3

크기가 1인 벡터는 단위벡터라고 한다.

단위벡터를 구하는 조작을 가리켜 벡터를 정규화한다고 표현한다. 유니티의 Vector3 클래스의 normalized를 사용하면 원래 벡터의 단위벡터를 구할 수 있다.

 

- 3.2.4

서로 평행인 벡터나 3개의 벡터가 모두 같은 평면에 있어 좌표계를 표현할 수 없을 때 이 벡터들을 선형종속이라고 부른다. 하나의 벡터를 다른 벡터의 합으로 표현할 수 있는 상태가 된다.

선형종속이 아는 상태를 선형독립이라고 한다.

 

선형독립이고 좌표계 표현에 사용할 수 있는 벡터를 가리켜 기저벡터라 하고 그 집합을 기저(basis)라 부른다.

좌표계를 나타내는 기저를 구성하는 기저벡터의 개수를 차원이라 부른다.

 

- 3.2.5

법선벡터는 2D인 경우에는 어떤 벡터에 수직인 벡터이고, 3D인 경우에는 어떤 평면에 수직인 벡터다.

법선이라는 개념 자체는 벡터에 국한되지 않고 수직인 직선을 의미한다.

 

벡터 v를 그 시점에 속한 면에 수직인 벡터와 그 면상의 벡터로 분해했을 때, 수직은 벡터를 가리켜 v의 법선성분이라고 하고, 면상의 벡터를 v의 접선성분이라고 한다.

=> v가 속한 면에 수직인 벡터가 법선성분, v가 속한 면에서 v에 수직인 벡터가 접선성분

 

- 3.2.6

벡터의 크기를 노름(norm)이라고 부른다.

 

벡터의 크기를 구하려면 제곱근 연산이 필요한데 컴퓨터상의 제곱근 연산은 실행비용이 많이 든다.

두 개 벡터의 크기만 비교하고 싶을 때는 제곱근을 구할 것까지 없이 벡터의 크기를 제곱한 값끼리 비교하는 것으로 충분하다.

유니티의 Vector3 클래스의 sqrMagnitude를 사용하자.

 

- 3.2.7

내적은 두 개의 벡터를 하나의 스칼라양으로 변환하는 연산이다.

 

사인과 코사인으로 대표되는 초월함수라 불리는 종류의 함수는 일반적으로 컴퓨터상에서 처리비용이 비싸므로, 내적을 계산으로 구할 때는 가능한 한 이 성분표시를 사용해야한다.

 

- 3.2.8

내적은 벡터의 직교투영을 구할 때 사용할 수 있다. 직교투영이란 빛이 닿았을 때 생기는 그림자 형태라고 생각하면 된다.

유니티에서는 직교투영을 구하는 메서드로서 Vector3 클래스의 Project 메서드를 제공한다.

 

- 3.2.9

내적 값의 부호와, a와 b 길이의 곱과 a와 b의 내적을 비교함으로써 두 벡터의 위치 관계를 조사할 수 있다.

 

- 3.2.10

외적은 두 개의 벡터에서 새로운 한 개의 벡터를 생성하는 연산이다.

외적으로 생성되는 벡터는 두 개의 벡터 a, b에 수직이고, a, b로 이루어지는 평행사변형의 면적과 크기가 같은 벡터다.

 

어느 좌표계를 사용하는지에 따라 방향이 바뀌는 벡터를 유사벡터 또는 축성벡터라 부르며 일반 벡터와는 구별한다.

좌표계가 변해도 방향이 변하지 않는 일반 벡터는 극성벡터라 한다.

 

유니티에서는 Vector3 클래스의 Cross 메서드를 사용하면 외적을 계산할 수 있다.

 

- 3.2.11

내적은 벡터의 직교 판정에 사용할 수 있고, 외적의 크기는 평행 판정에 사용할 수 있다.

외적에 관한 가장 직접적인 사용법은 평면의 법선벡터를 구하는 것이다.

세 개의 정점으로 구성되는 삼각형의 두 변을 이루는 벡터의 외적을 구해 정규화해주면, 그 삼각형이 존재하는 평면의 법선벡터를 얻을 수 있다.

 

- 3.3

예제에서는 카메라에서 뻗어나온 선 중 점 P가 삼각형 ABC 안쪽에 있는지 내적과 외적을 사용해 판단한다. (105p)